Знакопостоянные ряды

Определение:

$\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ называется **знакопостоянным**, еcли $\forall{n \in \mathbb{N}}\mathpunct{:}~~ a_{n} \geq 0$

Замечание

Формулировка:

Если ряд знакопостоянный, то $\sum\limits_{n=1}^{\infty} a_{n}$ сходится $\iff$ $\{S_{n}\}$ - ограничена.

Д-во:

$S_{n + 1} - S_{n} = a_{n + 1} \geq 0$, следовательно $S_{n}$ - возрастает. Значит по теореме о пределе монотонной последовательности если $S_{n}$ ограничена, то $S_{n}$ сходится. Если же ${} S_{n}$ не ограничена, то $S_{n}$ - расходится. $\square$